《自由的虎》书摘笔记。幸福之数学家。

村办玩的公众号号:mytrust2014

【转】
正视的办公【冯·诺伊曼同艾伦•图灵】——纪念艾伦•图灵百年诞辰
1912.6.23-2012.6.23

人间满相遇,都是久别重逢。

 一、左边的办公

纳什的死,偶遭遇一首好和,由此发现立即仍好题。

冯·诺伊曼教授每年转移一管新凯迪拉克。早上十点,他把容易车停在帕尔玛大体实验室门口,神采奕奕地活动上前隔壁数学系的办公。那时候普林斯顿高等级研究院才刚刚起,和数学系挤在相同栋叫作Fine
Hall的楼——
“还不易的楼”。冯·诺伊曼教授总是通过同身笔大的西服,以免别人管他错当成学生。他最年轻,三十转运,却已到了学术巅峰,和五十差不多东的物理学家爱因斯坦、数学家维布伦(Oswald
Veblen)、数学家亚历山充分(James
Alexander)一起成为了高级研究院最初任命的季各教授。

日前在看一样照《自由之大虫》,是千篇一律仍多人数有点传合计,人物都是普林斯之同室,作者
沈诞琦 是均等各上海长大,留学美国底姑娘,本科为是普林斯顿。

John von Neumann, 1903-1957

发觉这开之契机是,前阵子约翰.纳什去世,又翻生几年前看之《美丽心灵》再拘留,偶然见到同一篇《我所认识的纳什》,然后顺藤摸瓜找到了马上本书。
发现里面还有这首《面对面的办公》,是图灵的一个小传,还涉嫌冯诺依曼及爱因斯坦,都是本身好的禀赋,甚为喜,分享给您。

十八秋那年,他犹太裔的大人准备将长子拉发对数学的执迷学来再实在的事物,于是他们达成了妥协,冯·诺伊曼又于三所高校注册:在苏黎士联邦理工学院(ETH)学习化学工程,每晚就柏林大学数学专业的学业,在每个学期末回布达佩斯大学到场他没上过课的数学考试。二十二岁那年客不光从苏黎士联邦理工拿到化学工程学位,还经过了大卫·希尔伯特坐镇之数学博士答辩。整场答辩希尔伯特就问了一个题材:“我根本没有见了这么精美的晚礼服,你的裁缝是何人?”于是,大家都知情了,希尔伯特钦点的青年,不但写了宏观的博士论文,还是个翩翩佳公子。
博士毕业后底老三年,高产的老三年!他于柏林大学和汉堡大学之老三年一起刊登了二十五首论文!包括同样以八十年晚仍旧重印的量子力学教科书,可是……对于这个便捷发展之天才这些荣誉也一度是往往事。二十七夏及,纳粹刚刚抬头而美国啊恰好走有了生萧条,维布伦代表普林斯顿去欧洲征集,工资开价是冯·诺伊曼在德国致富的八加倍还差不多。踏进美利坚第一天,他由趣地针对同行之匈牙利农家维格纳(Eugene
Wigner,
1963年诺贝尔物理学奖)说:“我们欠给自己再像美国总人口。”当即,维格纳改名叫“尤金”(Eugene),冯·诺伊曼改名叫“约翰”(John),和有些熟一点之人头哪怕勾肩搭背地游说“你们给自己强尼(Johnny)吧。”
强尼,强尼。强尼•冯•诺伊曼就不着痕迹地混进了充满大街都是强尼的美利坚大熔炉,还有哪位知道他巧落地时好卑微的匈牙利喻为“亚诺斯”(Janos)
?还有谁知道他在德国那么几年日耳曼化的“约汉纳”(Johann)?
不了他改变了名,却死在不乐意拿姓氏里的“冯”去掉。二十几年前他生钱的犹太老爸向且就木的镇皇帝弗朗茨·约瑟夫买了此贵族称号,于是带在暴发户气息的诺依曼家族就转变成了传世的贵族冯•诺伊曼,多亏奥匈帝国国库空虚等钱为此,否则十足的犹太血统怎么能够输上之神圣之名头?一到礼拜冯•诺伊曼肯定伸手教授们上外宽广奢侈之大宅喝酒跳舞,宾客盈门杯觥交错,
“冯•诺伊曼请客谁不失去!”讲有这话,就好象请客做东的凡奥匈帝国的某部最贵的日耳曼裔公爵。

扣押后底感觉是,二战前后的美国校园是独美好的时日,大师与师父总有您所不知的插花。

老二、右边的办公室

《模仿戏》与《美丽心灵》在《自由的大虫》处相遇,这通归功给一个普林斯顿的炎黄女儿。

冯·诺伊曼教授对面的办公为正博士生艾伦·图灵。开朗活泼的冯•诺伊曼教授以及一身紧张之图灵没什么闲话好且,只晓得是总穿一套乱差糟运动衫的小伙前几乎龙差点把温馨之那部二手福特车倒车前进了卡耐基湖。冯•诺伊曼教授横穿大西洋自然请头等舱,常年西装革履,每年转移一总理新的凯迪拉克,略聊发福,讨厌运动,有同不好家想吃他学滑雪他愤甚至因为离婚威胁。与他恰恰相反,博士生图灵则以几个月前为正最后等甲板舱从英国漂到美国。他常年一桩套头衫,开平统状况令人堪忧的二手福特,身材精瘦,热爱运动,是跑赢过奥运会选手的遥远健将。一到周日,他与学友打垒球比,分成两个班,“大英帝国队”对决“叛变殖民地队”。

—————-以下是书摘——————————

Alan Turing, 1912-1954

《面对面的办公》

巧来普林斯顿那儿他莫是没尝试过去交朋友,拥抱新在,可是上个月当一号称卡车司机理所当然地把好油腻腻的手搭在外肩上直呼其名和他侃大山时,堂堂剑桥大学国王学院的毕业生着实为这种野蛮的新风吓了一跳。别误会了,他非像冯·诺伊曼教授那样公子派头,他爸爸可是大英帝国驻印度之一个稍稍公务员,可是英伦岛国的管束让他认为一个外人把脏手搭在您他肩上实在有些亲昵过分。他吧深恶痛绝陌生人吃他“艾伦”,还是“图灵先生”更稳当些。除了难以适应美国之初条件,图灵先生还有复浅的题材,在老大年代的好看社会里只是于手势和眼神的问题:喏,你懂得之,他小慌……就是非常……那个啊……你知道我以说话啊呀。
数学天才艾伦·图灵先生是只无可救药的同性恋。
以此无可救药的问题是这么开始之:当图灵还当谢伯恩男校 (Sherborne School
)读高中,他认得了于自己高一级的克里斯托弗•马尔孔 (Christopher
Morcom)。瘦弱的、过于虚弱的马尔孔,每个学年都盖久病长期缺课,可他明白之头脑竟然要他在偶然上的几乎上能填补及拥有功课,门门考试成绩第一。是如此毫不费力的灵性吸引了图灵,而当他再也类似马尔孔,惊喜地觉察他及自己同样,对对有先天而深刻的志趣。在马尔孔偶尔上的光景里,他们因于隔壁的席位听课,又一道去图书馆写作业,以便能源源议论对问题:马尔孔说哪些以爱妻添化学实验室研究碘,图灵说怎么手算圆周率到稍微数点后36各项,马尔孔说公知不知道薛定谔的量子力学有趣极了,图灵说你知不知道爱因斯坦底相对论也有意思极了。他们讲期待,应该举行数学家还是物理学家,如何也科学做出真正的贡献……晚钟响了,他们回各自的宿舍睡觉,又以凌晨爬起来站到阳台及就此天文望远镜看少,并致函将考察结果告知对方:“我从不见了更好之木星。今夜自我看齐了五单围绕,甚至能看清中深环上的斑斓。”“我今夜盼了仙女座,但不一会尽管烟消云散了。”那个冬天,毕业班的马尔孔已顺利将到了剑桥三一致学院的奖学金。图灵还出同年毕业,马尔孔鼓励他明年报考剑桥,“因为那边的不错最好,而且我能经常见你。”这句嘉勉说称不至一个月,一个晴朗的昕,图灵起床看见月亮刚巧经过对楼马尔孔的窗户落下。“今晚的嫦娥格外得意。”他写于记事本上预备第二龙报告马尔孔,他尚无懂得永远不见面生出那么同样上了。那个凌晨,克里斯托弗•马尔孔暴病夭折。
落葬日,时年十七春之图灵怀着巨大的痛心写信给马尔孔的慈母:
1930年2月15日
贴心的马尔孔太太,
自己以克里斯而格外为难了。一年来我们一齐上,我根本没有到了像他那明白、迷人、又谦卑之冤家。我跟外分享了研讨之童趣还有对天文的疼爱(这是外抓住的),我怀念他吗是这样认为的。现在,尽管有有意因为他的百般要熄灭了,即使这一切不再以他一旦那好玩,我耶如投入尽可能多之肥力到研究上,就象外依然活着在。他会晤期待我如此做的。我老知君这的痛心。
若忠诚的,
艾伦•图灵
而且与:如果您能吃自己同布置克里斯的小照片我将坏感同身受。我甘愿为这来凭吊他的规范和成功,督促我又密切再优质。我会想念他的模样,他挪以自身身边时微笑的样子。幸好自己保留着他具备的信。
马尔孔死后同年,图灵的前景控制了,他而错过剑桥国王学院学数学,就比如被马尔孔太太的信里所许的,“以这缅怀他的范和完成。”这等同年遭受,无数次于针对马尔孔的哀思恐怕也叫他慢慢明白了于友谊更可怜的情义。是爱情吧?图灵无法回答,也不足回答。落葬日那封痛切的信仰,还有这同一年来(以及他的余生)为了纪念马尔孔而突飞猛进的课业都印证了这卖情感比较爱情又胜似:他当竭尽所能挽留死者。又出哪个会呢那美好的情义而手足无措呢?于是图灵坦然接受了,并当余生没有试图遮掩自己之性取向。

数学是休到家的,逻辑是免到家的,哲学是不健全的。即使以无限抽象最笼统的意思上,我们照例永远在在一个请勿圆满的世界里,在当时摇晃的地基及我们永久去不生另完美的物。我们亟须不停修补改造,在各级一样赖稳固地基的而准备换得重好。

老三、希尔伯特的夕阳

咱理解,冯•诺伊曼关于世界就需要十五光计算机的预言错了。世界沿着图灵的期延展下去,一个扁平的千姿百态的社会风气。我们领略,图灵的企就那么熟稔地给今天之人类挂于嘴边:互联网、人工智能。

每个清晨及黄昏,图灵习惯一个总人口顺河边长跑思考问题。去年夏天,当他尚以剑桥国王学院朗诵本科,某次长跑暨精疲力竭地睡倒在草坪上,斜阳西照,运动让他心神凝聚,他脑子中经历了扳平街风暴,忽然发现及了对希尔伯特判定问题(Entscheidungsproblem)的法子。他鼓劲地同样跃而自从跑回卧室写下好之思路。他的身后,照耀世界数学界三十余年的永之希尔伯特的太阳,终于落山了。
大卫·希尔伯特,那个时代最受尊崇的数学家,凭一自我的能力使数学活动及了又审慎系统的现代的路。1900年,38载之希尔伯特如一员新任的武林盟主,振臂一呼,四方响应。他在国际数学大会上提出了红的“二十三独问题”,立即成了数学界集体奋斗之靶子,其中的第八单问题黎曼猜想/哥德巴赫猜想更是成了数学之光。二十八年后,暮年底希尔伯特以提出了三个数理逻辑上之酷题目,简单说来这三只问题各自是:1)数学是齐全的吗?2)数学是相容的呢?3)数学是可看清的吧?其中的老三题材,即吃称作希尔伯特的判定问题。如果说
1900年底二十三个难题洋溢在中年人的犹豫满志,那么1928年之老三独问题一度是一个父老对秩序以及系统的心仪。希尔伯特十分企,这三单问题之答案都是肯定之,因为当时将如数学建立于宏观严谨的逻辑的基石上,作为亘古不转换的真谛是。
惋惜,这个井井有条的逻辑美梦只做了三年,年轻的奥地利总人口哥德尔就刊载了震惊数学界的哥德尔不全定理:数学不可能既是万事俱备的还要是相容的。这个定律以特别好玩之形式否定了希尔伯特1928年的首先同次个问题。到1935年夏,躺在草坪上休息之图灵经历了一如既往庙会头脑风暴,他想到了否认希尔伯特第三个问题之措施:用机器。他想象在同一种植虚构的“图灵机”,可以自平长长的极其加上的纸带子上的读取命令进行操作,从而模拟人类所可能开展的外计算过程。图灵证明,我们无可知用一个算法来判断一大给定的图灵机是否会见停机,所以停机问题是一个无法判断的数学题目,即希尔伯特的老三只命题答案为耶。
巧合的是,第二年春天,正当图灵把关于判定问题之舆论初稿交给老师纽曼(Max
Newman)过目时,大洋彼岸,普林斯顿大学的阿隆佐·邱奇(Alonzo
Church)教授——逻辑界数一数二之家——抢先一步发表了新论文,利用自创的λ演算(lambda
calculus)否定了希尔伯特判定问题。看到邱奇这样巧合的论文,导师纽曼顺水推舟写信推荐图灵去做博士生。1936年夏,邱奇的新博士生图灵来到了普林斯顿。
图灵在普林斯顿大学的档案 Firestone Library, Princeton University, June
2012
11月,图灵关于判定问题之舆论,即多年后以声名大噪的 On Computable
Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem
终于发表,学界反应最冷淡。12月图灵在普林斯顿数学俱乐部开了有关这篇论文的发言,听众不足十丁。这首解决了希尔伯特第三只问题之论文为何遇这么冷遇?有几乎个因:其一,哥德尔不齐定理如此幽默奥妙,已经吸引走了学界关于希尔伯特三题材之绝大多数兴;其二,邱奇当年春天之舆论都率先解决了希尔伯特判定问题,虽然图灵的解法天差地别,也比较邱奇的解法简洁得差不多;其三,用“机器”解决数理逻辑问题,实则是这篇论文最闪亮的一些,可是过于新颖,不易于受主流学界接受;其四,恐怕也是极度要的原故:和名牌教授邱奇于起来,图灵才初发茅庐。他在家书中气说:“只有名人才见面掀起听众。(One
should have a reputation if one hopes to be listened to.)”
不,不了如此。至少还有一个人口会面认真读书无名小卒的舆论。对家办公室的冯•诺伊曼教授——图灵默默仰慕又羞于开口的偶像——不但认真读了这首论文,还宣读了有期刊上之持有论文。他是千篇一律遵照志的百科全书,任何人的旁文化都避开不发他的法眼。图灵的论文一登载,敏锐的冯•诺伊曼都嗅到了图灵机广阔的远景,他针对冤家说,你该错过追寻我本着门户的图灵,他那么篇论文正好可以做如此那样的从事。他慷慨地被爱人建议,自己倒没有亲自找图灵聊聊。他的注意力在幽默之图灵机上待了一晃,又超越到其它一个全然不同也同有趣的题材上:量子力学、流体力学、博弈论……世上千千万底问题还抓住着冯•诺伊曼,他脑子中产生千千万假设执行的计划——图灵机不过大凡里一个。
但,博士生图灵仍然以马上首论文而让冯•诺伊曼教授留下了记忆,两年后图灵从普林斯顿博士毕业,是冯•诺伊曼教授唯一提出了留:年薪一千五百美元聘图灵做和好之下手。对于一个血气方刚的数学家,能师从传奇般的冯•诺伊曼教授是恨铁不成钢的机遇,
一千五百美元之薪饷也较图灵在英国能够找到的教职待遇好得差不多。图灵拿在冯•诺伊曼的聘书在普林斯顿校园里晃荡,理性而他不得不好好考虑这难得的肥缺,可是啊——英国总人口图灵吸吸鼻子,鼻子里呼到的气氛有硌最鄙俗,清清耳朵,耳朵里听到的英语来接触最懒散。他走过哥特式的普林斯顿校礼拜堂,那只有是更进一步波澜壮阔古老的剑桥国王学院礼拜堂蹩脚的复制品。礼拜堂的尖顶插入新泽西州底蓝天白云,英国人数图灵却无奈欣赏这的蓝天万里,他的眼神更到了大西洋岸上,那里,纳粹的阴云密布欧洲。
1938年夏季,博士毕业的图灵忧心忡忡回到英国剑桥,在数学系做一样学期才吃十英镑的临时教员,教平宗听者寥寥的“数学基础”。他将日益攀爬学术的楼梯,成为民办教师、讲师、副教授、教授,如果不出意外的语。九只月后,意外降临:纳粹的阴云终于落成狂风暴雨,德国犯波兰,第二次世界大战开始。

返1937年,文章一开头写的十分早晨。

四、Station X. Site Y.

34春的犹太裔教学冯•诺伊曼是家财万贯的公子哥,不过他得是公子哥中极度勤快的一个。他每天五接触好,昨夜外派遣对宴请的爱人还一个个反而以沙发上打呼噜,他已经在书房里沙沙写了几页论文。九点开早饭,他适可而止工作活动有书房,和留宿的爱侣称笑风生邀请他们下次再来。十碰,他的凯迪拉克已经稳稳当当地住在帕尔玛物理实验室前面,他同样套标志性的西装地走向相邻的数学楼,继续写论文。

二战的突发被白金汉郡的布莱切利镇带来了接触可喜的超常规,一万基本上口连夜从老城市挤火车逃难到之平庸乏味的小镇,可是不久大部分以挤火车回了:宁愿让炸弹炸死,也毫无当当时有点地方无聊死。艾伦•图灵却逆着人群,搬至了即无聊小镇最无聊郊区的同小最极端俗的略微招待所里,每天骑车三英里去镇着力的布莱切利园(Bletchley
Park)上一个哪个都未亮堂当胡打什么的趟,下班回来还自愿被冷冷清清的店酒吧打杂。旅馆老板娘看正在此闲得发慌的小伙直摇头:健健康康的大男人,怎么不失作战吧?
而是,图灵正在征战。他的仇人:哑谜。看似死水一潭的布莱切利园,此时曾经来矣部队代号:Station
X,保密等级:绝密。这里是英国政府密码学校之营地,海陆空以及军情六处之情报组织各占一隅。几百叫做工作人员日夜兼程破解德国丁的无线电报,为了最老程度保密,大部分高干根本不知道工作的真正目的,除了几只主导解密成员:象棋冠军、填字游戏高手、数学家。二十七年之图灵很快在这中心团队里发生了绰号:教授(Prof.)。
这时的欧洲空间,无数源于德军的电磁波正以莫尔斯码的款型频频往来。这些莫尔斯码发出前由于同种名叫“哑谜机”(the
Enigma
Machine)的加密器加密,在接受者又由于同的“哑谜机”解密。直到二战结束,德军没有怀疑过哑谜机的巩固,所有军种所有级别电报,一律用哑谜机加密,加密报中放心大胆地沟通了装有部队消息:潜艇位置、军队人口、攻击路线、伤亡报告……
哑谜机
德军的信心来源哑谜机复杂的加密方法。虽然每个军种对商用的哑谜机都稍发改善,不过有哑谜机基本结构相同:键盘、接线板、多独转子、指示灯。当密码操作员在键盘上随下一个字母(比如字母A),电流会通过一个可是机关改接的接线板,启动一个或多个转子转动,同时点亮某个字母指示灯(比如字母L),于是字母A被加密成字母L。哑谜机精巧的宏图使得,在产一样差仍下字母A时,它将被加密成另外一个差之假名(比如许母P)。更抢眼的是,当且仅当发送端和接端的哑谜机拥有一致的始设定(同样的接线板、同样的转子排列、同样的转子初始位置),密码L才得以行使收取端的哑谜机还原成A。而于无亮堂开设定的挑战者,他们面对的恐怕情况多上10^114种植!
雪上加霜的是,德军每个军种所用底哑谜机略有不同,相对于三个转子的陆军哑谜机,海军五转子的之哑谜机要复杂得几近。在布莱切利园只发星星点点独人口信赖就荒无人烟加密状如天书的密码可为破解:一个是布莱切利园的要命,因为“海军电报必须吃破解”,否则受德军潜艇作战封锁的英国将坐以待毙;另一个凡是“教授”图灵,因为“如果海军电报能破解,那实在太好游戏了”。
“教授”发现,在加密文件被搜索规律的真面目是重复搜索,而寻是一律种机器可以替人脑的行事。当时,布莱切利园从曾经研究了哑谜机的波兰数学家那里继承了千篇一律种为“炸弹”(Bombe)的本来面目解密仪器,每一个“炸弹”模仿一个哑谜机的转子,许多“炸弹”相链接来法一栽哑谜机的初始设定生成可能的电报。简而言之,这是相同种穷举搜寻答案的算法,需要遍历所有或排列,费时费力。图灵洞察到,只要利用几个大概的事实——比如,一个字母之密码无可能是其本人、原始文件中一些假名(比如s)的面世频率肯定超其他一部分字母(比如x),一些定点词语(比如“元首”)将反复出现——就会大大改善波兰口之笨法子,来很快搜索最有或的转子设定。用现时底算法语言来说,他以穷举法改良成了贪算法。贪心算法改进后底“炸弹”对抗五转子的海军哑谜机大得成功。每次一样方发生电报后,接受方过几分钟将发一样封短电报表示“收讫”。许多扭转,电波被尚免监测及“收讫”电报,图灵的“炸弹”机已经将密码还原成了初稿,
可见“炸弹”的解密速度还比预知原始设定的接受方都快!布莱切利园自豪地游说,德国人数确实该问“教授”他们的报到底讲了啊。
而是,随着战争深入,转子更多之哑谜机不断投入以,最后还出现了十二转子的密码机。面对十二转子,即使图灵的“炸弹”都需要十几上时间。战场瞬息万变,布莱切利园亟需更快速的机械。很强烈,提高速度之关键在于把机械的“炸弹”机改成为又迅捷的电路装置。1943年,在图灵的鞭策下,布莱切利园工程师Tommy
Flowers设计了相同宝为作Colossus的巨型机器,在战时充分的经费支持下迅速获准建造。
当即就算是世界上先是华电脑,电子化、数字化、程序化。它由光学在加上条纸带上读取电报原文,经过一千五百独真空管的电路计算,将解密结果输出及电传打字机上。1944年6月1日,
经过全面的Colossus二号机抵达布莱切利园。离诺曼底登陆只发生五龙。
诺曼底登陆,在欧洲开发第二战地的绝无仅有方法,毋宁是平集豪赌。盟军三百万主力兵力如起海上及空间登陆爱守难学的诺曼底,很可能伤亡惨重。为了掩护兵力,盟军的情报网精心编造了同样则假消息披露为对方,希望德军以为在诺曼底将发生同等次等就是“小圈圈”的武装部队转移。而德军能不能够上当则独自通过由Colossus解密的德军电报检验。幸亏快速的电子计算机,解密很顺畅,德军的电报显示只发同等有点支队伍于派遣往诺曼底。更幸运的凡,电报还详细说明了大军部署、物资转移、军种调遣,德军手中的牌一览无余。
6月6日黎明老三沾,Colossus破解了同样漫漫德军自诺曼底刚有之彻底的电。天什么,天上怎么来了那基本上伞兵。
乘胜这些伞兵安然降落,二战的转机到来了。
大西洋之别一头,1943年成熟。
威斯康辛大学麦迪逊分校数学教授乌拉姆(Stan
Ulam)的办公室里闯荡进了一个阴学童。学期就过了大体上,她可要求提前完成期末考试,以便“为战争服务”。她坐于办公室的地板上,答完了讲解于信封背面临时写下之几乎道题,然后消失到哪个还不清楚哪里去矣。
旋即几天,乌拉姆身边发生广大有情人没有了。在酒家认识的同事、物理教授、自己带来的研究生,他们自了单
“为战服务”的假条,就潜在莫测地走了。乌拉姆心里发痒,写信给自己朋友中人脉最常见的冯•诺伊曼,询问有否能为大战服务的工作,他复信了,说好无暇得老,不如在芝加哥火车站会——他于那边碰巧有些许独小时的转账时间。乌拉姆以站台看到了紧急的冯•诺伊曼,以及——他身后的星星号保镖,这才发现及他爱人方忙活的行对战争意义主要。冯•诺伊曼神秘地代表:有一样项大重点的品类或者能为乌拉姆帮忙,不过他尚不可知说是什么事,在哪,有哪个。
几乎全面后,乌拉姆收到了同封闭政府委派信,要求他错过新墨西哥州一个小镇。他向没听说了就荒僻之地,就夺图书馆借新墨西哥州地图册。于是他又惊又喜地窥见,在地图册的借书卡上,整齐地排着前面没有的保有熟人的讳。他们还冰释到了是闻所未闻之地。
火车在一个人迹罕至之站已,黄沙遍野,峭壁陡崖,像时间界限一样死寂。这里虽是Site
Y,刚刚起步的钻项目为Project
Y,保密阶段:绝密。战争结束后,前者以称洛斯阿拉莫斯国家实验室(Los
Alamos National
Laboratory),后者就是鼎鼎大名的曼哈顿计划。在当下片萧索瑰丽的戈壁中,聚集了扳平多活力充沛的青年人,平均年龄25年,第一年,80只新生命诞生。他们的特首奥本海默38年度,他们之投递员冯•诺伊曼39载。他们之天职:制造摧毁一切活力与性命之顶尖兵器,原子弹。
洛斯阿拉莫斯国家实验室边界的标志
季年前,爱因斯坦同西拉德(Leo
Szilard)上挥洒美国总理罗斯福:物理学的推已让通过核裂变获得巨大能量指日可待,只要德国口乐于,他们发知识和力量发明这种武器,美国必须赶在纳粹德国之前掌握对技术。随着美国正式参战,核技术的研讨更紧。一个名字为领出来:罗伯特·奥本海默,聪明果敢,当机立断。另一个名字被提出来:约翰•冯•诺伊曼,因为他曾经坐镇另外十几单军项目达到,正好能耳听八路,眼观四方。
冯•诺伊曼教授是军方极疼爱之通力合作人。作为犹太人他针对纳粹嫉恶如仇,为了替关在集中营的意中人报仇他期盼和招强压的总人口搭档,醉心各种新型武器。作为数学家,他当只有当数学有应用价值时,数学才能够顶抢速度发展。少时父亲逼迫之下学习的化学工程意外派上了用途,他非常易懂物理学家和化学家的讨论,再就此数学之言语诠释给数学家听。他最善于把同码看似庞大无解的天职庖丁解牛,分拆成小组件委派他人,让脚每个人看好将到的那么部分恰好是无与伦比拿手的本职。他是天的首领和传令官,坐镇导弹研究实验室、美国数学学会战争委员会、国家防御研究委员会……不像大多数叫胁持定居在洛斯阿拉莫斯底科研者,他出入自由。日理万机的冯•诺伊曼教授啊,他于普林斯顿、波士顿、费城、华盛顿、芝加哥、洛斯阿拉莫斯实验室、阿伯丁兵器试验基本……全美的战时科研进展他清楚,人家刚和他提了少数句子,他虽会接通上来,“某某在芝加哥啊做这事。”“哈佛的某部已经打出来了。”
曼哈顿计划最可怜之紧不是造产生对裂变反应,而是决定原子弹的威力。爆炸的微波将反复震荡叠加,最终之力量难以预测。曼哈顿计划之莫大机密性和复核试验的贵成本令广大试验非可能,而人工又难以启齿计算如此多的非线性方程。如何提高计算能力成为了当务之急。
实际上,计算能力者瓶颈也麻烦着另外军方科研项目。于是,1943年,当听说宾夕法尼亚大学之等同多工程师为了计算导弹则(另一样栽典型的非线性方程)而开修建一模一样玉名为也ENIAC的大型机器时,冯•诺伊曼就敏锐地想到:也得据此当下机器去计算原子弹冲击波的能量。在外的领衔下,ENIAC建了后首先件测试任务还是无是导弹则而成了核弹方程,整个测试将原先几乎个月之
人力计算缩短到了几乎龙。完成测试外脸色苍白地回到普林斯顿内倒头睡了十小时,醒来后不吃不喝,久久为老婆吐生同样句话:“我们往了平匹很兽。”
怪兽,他凭借的莫是核弹,而是计算机。
盼了ENIAC的普遍前景后,冯•诺伊曼毛遂自荐要开ENIAC的数学顾问,让发明者Presper
Eckert和John
Mauchly受宠若惊。他们切身领冯•诺伊曼参观机器,一内部两百相同米之生间里,两独工程师指给他看:这里是一万八千绝望真空管、这里是电源、这里是朗诵卡器、这里是维修站……可是,人家的计划冯•诺伊曼却看得比设计者还懂得,他同样回去就写了只105页的晓:“一台计算机的底子组成是:存储器、控制器、运算器、输入输出设备。”至今日,世界上的大部分处理器仍于沿用这名的“冯•诺伊曼结构”。
1945年5月,德国妥协,证据显示德国随即底科研进展还未能打出原子弹。7月,洛斯阿拉莫斯首先粒原子弹试射成功。8月,在初就任之杜鲁门总理的暗示下,两颗本为敌德国人口之原子弹投向日本广岛暨长崎。9月,日本妥协。第二次世界大战结束。
1945年7月16日凌晨,第一颗原子弹Trinity在新墨西哥州试射成功。奥本海默看了试射后引用了印度史诗《薄伽梵歌》中之诗文:“我曾改成死神,三界的毁灭者
。”

这25春秋的同性恋博士生图灵也已经穿过在标志性的破运动衣沿着学校树林跑了了半程马拉松。他以丛林里看看了几乎只有英国呈现不在的颜色鲜艳的青蛙,几枚庞大的拖延,暗自好笑了片刻。他到帕尔玛物理实验室捣鼓了瞬间团结之业余爱好——制造一大能召开乘法的机器——然后通过天桥走上前数学楼,向办公室对家的冯•诺伊曼尴尬地由个照面,继续研究λ演算和图灵机。

五、MANIAC

这就是说时候,普林斯顿大学的数学楼和物理楼有同样所天桥相连。爱因斯坦教精神甚好,每天没完没了天桥许多不成在数学和情理之间来回奔跑。那是一个离我们马拉松的壮之正确年代,基础学科之间发生好多天桥和理想相通,科学家于一个科目开始开掘凿,最后挖到其它一个课程的金矿。希尔伯特于百年的新的名牌演说为几十年内的数学突飞猛进提供了依赖路牌,爱因斯坦1915年之广义相对论带来了一个新的人生观,一个个初化学元素接踵而至犹如上天之悲喜。集合论不过半个世纪,拓扑学才三十几年,量子力学二十年……在这个幸福的基础科学的一时,犹太人冯•诺伊曼同同性恋图灵坐于正视的办公里,这有限栽着歧视的身份用困扰他们一生,可是这时,他们心无旁骛只发生一个意思:做一个数学家、数学家、数学家。

以二战的伟人压力下,英美两皇家单独制作产生了极端老之微机,Colossus和ENIAC。它们惊人的貌似:都用打孔卡输入,都以真空管计算,都体积大,都针对二战胜利功勋卓著。二战史学家普遍认为,布莱切利园的劳作使欧洲战场缩短了扳平年半及片年的年月,并直接切断了“沙漠之狐”隆美尔于北非之补给线;而曼哈顿计划虽终结了太平洋战场。现在,在斯戏剧性的擂台上,两独核心人物图灵和冯•诺伊曼还决定改进就片台原始机器相似的瑕疵:只吧特别目的设计,不可知积存程序。改进的大势十分扎眼,一如图灵1936年舆论所预言的那样,造一模一样贵能好其余目的的图灵通用机。
二战结束了,而冷战的影子旋即逼近。核威慑成了千篇一律鼓关不上之宗,在距离重重的得意休养关系遭遇,美国速发现呢要自保只能继续扩展对优势。氢弹的研讨成为了攻坚第一,而如何加强计算能力并且改成了重大。要之一模一样台好机器!冯•诺伊曼教授对这个深信不疑。
在哪去?就当普林斯顿高档研究院!高等研究院院长面有难色:“我们这一直为纯是,造这么高异常机械有点不像话吧?”“钱啦来?一年十万美金的预算,你得被数学系经费翻三洋!”“造了加大哪?三内部两百均等米之不得了屋,二十四小时引起擎折腾,我们这可不曾这么的兵工厂。”鬼精明的冯•诺伊曼笑着对院长说既是这样那就算了,谢谢院长费心,一脱胎换骨却让哈佛大学、芝加哥大学、IBM轮番写信:“我生趣味到您当时工作。”三所部门喜笑颜开,发出了炽烈的聘书。好个冯•诺伊曼,姜太公钓鱼,把哈佛底聘书给芝加哥扣押,把芝加哥的受IBM看,每个部门衬着他人的价码轮番加价,要是会将鼎鼎大名的冯•诺伊曼请到,送只钱屋银屋都值!他胜券在握,把哈佛底天价聘书呈为普林斯顿底同事看,伤感地说自己一旦辞职,教授们共同上书给院长:“失掉冯•诺伊曼将凡普林斯顿的悲剧!”那院长为只能咬咬牙:去往公那么尊生的机械吧。
1947年于普林斯顿高级研究院开始盖的MANIAC计算机于另外意义及且过了前任ENIAC。ENIAC用了两万单真空管,MANIAC只所以了两千只。ENIAC重上三十吨,MANIAC只发生一致吨。最要紧之是,ENIAC不克储存程序,每个
不同之任务都亟待重排布电线,而MANIAC可以读取由打孔卡上第二向前制编码的顺序,贮存在存储器中。它是世界上率先尊真正的全能自动电子计算机,是后者所有电脑的母型。它做到的大队人马军方任务中,最惹眼的凡平等差耗时60日夜的盘算,其结果印证了氢弹制造的动向。
1952年科学家们于MANIAC前合影。左五也奥本海默,右一为冯•诺伊曼。
1957到校友Joshua
Dranoff,日后变成西北大学化工系教书,在五十年份用MANIAC完成了外化工博士论文,其中规划了一个所以电脑模拟实验结果的步调。他报我,每一样上机器运行之前有悠久的检修,技术工拿在同样箱子电线和真空管爬进MANIAC内部逐一更换坏损零件。各个专业的学员等当实验室外叽叽喳喳地排队签到,他们都想尝尝尝MANIAC的水灵,在论文里时地用电脑做个稍类。1958交校友Jerry
Porter,日后成为宾夕法尼亚大学数学系教授,是首先单以MANIAC完成本科毕业论文的学童。他大三大四时不时还带一援手同学负责MANIAC的夜班值勤,他们得目不转睛在示波器屏幕,时刻监测MANIAC宝贵的1024比特随机存储器不被烧坏。这个夜班工作激发了他本着计算机的兴,日后的学术生涯他只顾于计算数学领域。
乃,在未给战争破坏的美国,由ENIAC掀起的电脑及电子工程对来得风生水起,并飞速由IBM公司贯彻了商贸运行。到1960年MANIAC光荣退休为赠与让史密森尼国家博物馆(Smithsonian)时,全美已有所了6000令电脑。
在瓦砾上之英国,博士生图灵的运远没那么好。二战后,为保障英国情报网,布莱切利园大部分文件资料被烧销毁,其余为归为机密档案。胜利的荣耀属于海陆空三军,而布莱切利园的工作人员必须对战时做事保持沉默。头号功臣图灵被给予大英帝国官佐勋章(OBE),可就是他的慈母也止是明白,“他举行了接触了不起的事务。”
图灵被分配至国物理实验室工作,迫不及待地想只要改进Colossus。
他往实验室提交了千篇一律份项目报名,详尽地阐明自己以焉修筑一模一样尊能积存程序的电脑,事不管巨细地排有具有图纸和经费计划。可是,战时布莱切利园的全速与管管的刀兵经费就让位给战后拖拉的官僚作风和经济危机。过相这卖申请之长官并未一个看看这庞大的用途,大部分总人口还是无信赖计算机可以去出来——可笑可叹,与ENIAC的光景了不同,为情报服务的Colossus对外围是“不设有”的。图灵甚至无克告诉别人,这尊他们以为未可能前去之机械已经往出来了。
1948年,受够了国家实验室的官僚作风,图灵跳槽到曼彻斯特大学计算实验室
(Computing
Labatory),这里面临美国ENIAC的激着建造英国首先玉贮存程序式电脑Manchester
Mark
I。图灵本该大有作为,可是制造这么老一个机械需要与诸多口协调,他一身的脾气很快给同事跟的远,大部分提议给当作书呆子的气味而姑妄听之。不久,他聊以自慰地窥见,造计算机的难点要是硬件如未数学模型,那要把琐碎之工问题留下工程师吧。他为,他要是能“想”就行了。想——他起吧一个一向不有的微处理器想同一种下象棋的程序。四年后,他会晤扮演这大虚构的电脑,严格执行自己的次,和爱人下了一致庙会真正的象棋比赛,每一样步耗时半钟头。他同情人下北了,却赢了对象的老婆一商行。对于数学家图灵,即使永远没有电脑的实体,这桩事也罢曾做得了了。“想出来”就是“做下”。

福之数学家。

六、咬了一口的苹果

《爱因斯坦的梦》

以曼彻斯特大学,图灵的要紧工作仍旧是当算拟理论及。1950年,他提出了至今仍普遍使用的“图灵试验”(Turing
Test),即于测试者向星星独对象——一个为机一个也自然人——提出同样多元问题,如果因双方的报,测试者不可知分辨孰为机械,则是机器应为视为有智能的。别有代表的是,图灵在提出此考试时用了一个秀气的隐喻:假设两独回答者是一男一女,提问方在发问出一致层层问题后未能够判断哪个是妻子,则足以看不行男人为是一个成的“女人”。
他是在此地影射自己性取向上的距离为?我们不得而知。可形成论文后并未多久,他即以同等不好散步时结交了十九春秋之阿诺德•莫里(Arnold
Murray):水泥匠的子、惯偷、小胡混。这让丁情不自禁想起当年丁产富裕的魏尔伦一见钟情地好上了十六年度之兰波:一个乡下来的野孩子,境遇的极不同造成到强烈的爱欲。如同魏尔伦与兰波一样,图灵的故事吧闹一个甜的开端和一个毁灭性的最终:有同等龙图灵发现自己家中失窃了,他报了案,窃贼是莫里的冤家。于是通过简短的问询,图灵向警察局确认了与莫里内的关系。
每当当时之英国,同性恋情被列为“不体面罪”(gross
indecency)。他的入室盗窃案非但因此不得到法律保障,他反倒为送及庭受审。法官给来了少种植惩罚无他捎:坐牢还是化学阉割。当时部分不利研究认为,同性恋源自过剩的雄性欲望,可以经注射雌激素来制止。两害相权,图灵选择了后者,因为如此至少会眼睁睁在妻子继续举行数学。他被不断注射雌激素长齐一年,导致乳房长,变声,阳痿。
1954年6月7日,他当家中咬了一口沾有氰化物的毒苹果自杀。
叫图灵生命最后两年处境悲惨并最后导致他服毒自杀的“不体面罪”,他迅即凡最最天真地就以公安局面前承认了。他不仅口头承认了,还兴冲冲手写了五页花体字的供述。读了这五页纸的警官认为
“像散文一样流畅”(a flowing style, almost like
prose)、“虽然有些措词太难读不晓得”(beyond them in some of its
phraseology)、“他真认为他以做科学的行”(he really believed he was doing
the right thing)
。图灵事后报告朋友,他因此如此坦白是坐他当同性恋很快就要合法了,一切还得以摊在台面上谈。
图灵惨死后六十年过去了,这一体还远不克摊在台面上谈,同性恋行为当大多数国度依遭到普遍争议,虽然尊重与官方的意见在青年一代中越发高。2009年,英国首相布朗以平等卖几千总人口签字呼吁愿书下为当时员电脑的大及二战英雄做了合法道歉:“我们那个对不起。你应有受重复好自查自纠。(We
are sorry. You deserved so much better.)”
啊纪念图灵百年诞辰,2012年英国批发了相同摆图灵邮票。
1957年,五十三秋之冯•诺伊曼以骨癌病逝,癌变原因非常有或源自曼哈顿计划的核辐射。军方代表凑在外的病床前,以防他在药品作用下泄漏军事机密。生命最后之光阴,这个数学天才连简单的加减法都未可知做了,却还逐字背诵幼年读了之《浮士德》
给看看的亲朋解闷。浮士德,与死神鬼订约要遍历人间百态的高等学校啊,这不亏冯•诺伊曼的毕生?
冯•诺伊曼去世后,一切还不比了。曾经那么爱实现之事情,现在可苦。继任者们未明了,他到底是怎来来那么多钱?怎么招至那明白之总人口?“而且,说到底,我们为何非得过去一模一样光机械也?”冯•诺伊曼手下忠心耿耿的工程师们还指望正过去一模一样尊还好之MANIAC,用晶体管造,稳定性比真空管好得多……可是,这无异台机器永远没造。源泉充分了,源源不断的肥力以及创办便停止了。普林斯顿高等研究院离了计算机是最令人激动的发迹史。接下来,将凡IBM和MIT的大地。

“假设时间是一个圆,弯转过来首尾相接。世界更着和谐,无休无止,不差毫厘”。

七、“告诉她们,我过了最好的一生。”

咱俩且深受没收了相机,全队单发生一个廉价的防水相机,整场旅行就拍了几乎摆合影。我是何其感激这长达不带相机的规定,最美的山水是无法用相机记录的,它只有欠于即时受眼睛全神凝视,再在事后的想像着无给牵绊地重演。

回去1939年,大战前的末段一个学期。
1939年2月13日,剑桥哲学系教授维特根斯坦走上前“数学基础”课教室,失望地觉察他的学习者图灵今天不到了,于是对班上颁发,因为图灵缺席,“今天底征就是参考性的”——要知道就宗课的宏旨就是听维特根斯坦同图灵吵架!这号27岁的后生正从普林斯顿大学博士毕业,正在剑桥数学系以临时教员的地位教授相同门户同样给作“数学基础”同样听者寥寥的征缴,不过维特根斯坦之课是关于“数学本质是呀”这个哲学问题,而图灵的课是关于“奠定数学基础之公理是怎么”这个数学题目。在维特根斯坦底课上,他喜好拿具有对数学基础之攻击倾数射向图灵,而图灵也深喜爱针锋相对地还击。两总人口重地争吵,而后发现好对相互领域的解前进了一些。在是常年一身运动衫、又紧张又内向的小青年身上,维特根斯坦看来了三十年前之融洽:除了想最中心的题材,这世界没其它事要召开。三十年前,出生让欧洲尽富有家族之维特根斯坦啊是平不修边幅地立在逻辑学家罗素面前,他情急从罗素口中领悟自己出没出严肃思考最核心问题之才干:如果没有,他就算准备去自杀。
倘若今日,这个跟投机惊人相似之子弟图灵没有来上课
。图灵正骑车在不见链的单车去“钟屋”(Clock
House)——他爱的克里斯托弗•马尔孔生前不过常错过之教区教堂。今天凡马尔孔去世九年的祭日,马尔孔的养父母决定以儿子的名义为教堂给一个略带教堂。图灵坐于教堂里与送仪式,对面的彩色玻璃窗上绘有圣徒克里斯托弗的史事。亡友死后,彻底的无神论者图灵已经几十涂鸦来到就所教堂缅怀十七秋之夜幕,他和他从图书馆回宿舍同直达所谈论的豪情壮志:如何也正确做出真正的贡献。现在,完成了剑桥和普林斯顿之功课,这个理想都变得愈加具体。他的血汗中早就看了相同管辖精美的机,一总统会成就具有“可能就的”任务之机器。这不再只是是一样大机器,也是指向马尔孔的供。
多年后头,冯•诺伊曼教授会向美国政府保管,世上就待十五华这样的机械,全部出于像自己一样聪明之科学家操作,用以计算最紧要的题目:弹道曲线、核反应方程、天文观测。而图灵的愿景在更要命的地方:钻研过希尔伯特1928年三个问题之博士生图灵伤感地觉察及,数学是不完善的,逻辑是匪完美的,哲学是匪圆满的。即使以极其抽象最笼统的意义上,我们依然永远在在一个非周全的世界里,在就摇晃的地基及我们永世去不发出另完美的物。我们务必不停修补改造,在各级一样涂鸦稳固地基的还要准备换得更好。
要是同大到的机是未容许的,那么是否造出同宝未圆满而比如小孩一样不停成长的机械也?于是,图灵梦想着他的图灵机,那是相同种植好持续读取自身改自身之机械,在广大不良失败的尝尝后能够学及成功的奥妙。图灵梦想在群图灵机连接于同,一令提出问题,许多大还可以回答。可以是其它问题:从弹道曲线到老奶奶的购物清单到门旅行的地形图路线。可以由任何人操作:从最明白的科学家及小学肄业生,因为各令图灵机提供答案用透过又多之图灵机甄选。
咱们懂得,冯•诺伊曼关于世界就待十五大微机的预言错了。世界沿着图灵的期延展下去,一个扁平的千姿百态的社会风气。我们清楚,图灵的巴都那么熟稔地受今天的人类挂在嘴边:互联网、人工智能。
回来1937年,文章一开头写的可怜早晨。
34东之犹太裔教学冯•诺伊曼是家财万贯的公子哥,不过他必定是公子哥中极辛勤的一个。他每天五接触好,昨夜外叫对宴请的爱侣还一个个反而在沙发上打呼噜,他早已于书斋里沙沙勾勒了几乎页论文。九点开早饭,他停止工作走来书房,和留宿的朋友说话笑风生邀请他们下次还来。十碰,他的凯迪拉克已经稳稳当当地住在帕尔玛物理实验室前面,他一如既往套标志性的洋装地走向相邻的数学楼,继续写论文。
这儿25岁之同性恋博士生图灵也早就通过正标志性的破运动衣沿着学校树林跑了了半程马拉松。他在林海里观看了几独英国表现无正的颜色鲜艳的青蛙,几朵庞大之蘑菇,暗自好笑了一会儿。他到帕尔玛物理实验室捣鼓了瞬间投机之业余爱好——制造一雅能开乘法的机械——然后穿天桥走上前数学楼,向办公室针对门户的冯•诺伊曼尴尬地于个照面,继续研究λ演算和图灵机。
那时候,普林斯顿大学的数学楼和物理楼有一样所天桥相连。爱因斯坦教精神好好,每天穿梭天桥许多次以数学及大体之间往来奔走。那是一个离开我们长期的皇皇之对年代,基础学科之间有无数天桥和大好相通,科学家于一个课开始打通凿,最后挖到另外一个科目的宝藏。希尔伯特以世纪之初的著名演说为几十年内之数学突飞猛进提供了依赖路牌,爱因斯坦1915年的广义相对论带来了一个全新的人生观,一个个新化学元素接踵而至犹如上天之惊喜。集合论不过半个世纪,拓扑学才三十几年,量子力学二十年……在这个幸福之基础科学的一代,犹太人冯•诺伊曼同同性恋图灵坐在正视的办公里,这简单种植被歧视的身价用困扰他们一生,可是这时,他们心无旁骛只发生一个意思:做一个数学家、数学家、数学家。
福之数学家。

莱特曼自小对于诗歌与大体都有肯定的志趣,本科就读于普林斯顿大学,选专业时务必于文理这点儿单志趣被举行选择。他挑选了物理,因为理科科研需要庞大的专注力,只有当总人口年轻时才会上这样的专注;而写作则需生存经验,稍年增长一些再度起写作为无迟到。

每当我们相处的星星点点单多钟头里,他面自身之问题常常用来很丰富之思维时间。他想着思想正,给出一个简便的“是”或“不是”,再让闹一两词磕磕绊绊的句子,然后——句子越来越长,越来越连贯,意象越来越牢固。听他称,让自家想起了本科时上过的星星派别入帮派课程,皆是以此小圈子的大专家来吗局部咸凭基础之本科生启蒙:两独衰老的直教授,一开始有点口吃,艰难地斟字酌句,可是——等他们逐渐流利起来,呵,那些简单的词成了扬尘的定义,却鲜见相扣互发提到,在这些课上自家感受过多次极乐般的觉醒:万事万物是这么牵连起的哎!这便如听爱因斯坦叙:他的措词稍显笨拙,那是盖他享有真正的智慧,而不小智慧。只有如此同样栽人才会叫美以及秩序贯通流畅地喷涌出来,爆发出刺眼的火光。

《看火》

这就是说,我们只好问,难道是1970年舆论所依据的假要错了吧?那是简单久看似太中心不过合理的设:人对前景出理性之预想;人头痛不必要的高风险。——难道为了诠释今天的经济情况,我们连这些不过基本的对准人性之假设都必须放弃吧?放弃了这些奠基石,宏观经济学何去何于也?

乔万尼会说,这是一个哲学问题,而美联储的工作得的凡工程师的智慧:如果图张写错了,工程师还得坚强在头皮继续将房屋造下去。于是,乔万尼的劳作,说到底,是以就同降。

自我默然下来,我们每天煞费苦心地工作,试图预言几独季度之后的社会风气,试图以产一致不良经济衰退前就是准备。然而有这些极力,在“美国人口自我的转变”——人们在得又增长了,男女更平等了……也就是说,在这些巨大的历史车轮面前,我们只是螳臂当车。

《大鱼》

以一千大抵叫渴望听取成功秘诀之应届生面前,刘易斯继续藐视勤勤恳恳的“美国梦”,却就此“福星高照”来解释他的成。他对应届生说:“当人们日益成长,取得成功时,往往会认为成功是难免的。他们非愿意承认运气在她们生受到饰演的角色。”

只要您够关注及时世界,世界将展现让您那些文学性的刹那。在异常瞬间,一个故事可以表现所有道理

相关文章

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注